分かりやすい【場合の数・確率①】Pってナニ？順列・円順列を説明！

こんにちは。ねこの数式のnanakoです。

今回は、場合の数・確率の順列と組合せを紹介していきます。

この単元は、高校数学の中でも１，２を争うくらい苦手な人が出やすい単元です。

というのも、問題をパターン化しようとすると、

「パターンが多い」and「パターンの区別が難しい」

ので、ちゃんと理解していないとすぐにすべての内容が分からない状況になります。

一つひとつの内容をしっかりと理解し、違いを把握しながら進めましょう！

順列を紹介！

順列とは、「区別可能な特定の元から有限個を選んで作られる重複の無いを有限列」・・・なんのこっちゃ。

順列を簡単に説明すると、区別のつく何個かのものを１列に並べたものです。例えば・・・

A，B，C の３人を一列に並べるのは『ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA』の順があります。これらの列のことを順列といいます。

辞書式配列と樹形図ってナニ？

辞書式配列と樹形図というのを中学校のときに習ったのを覚えていますか？

辞書式配列というのは、アルファベットを並べる際に辞書に出てくる順に書き出していく方法です。

例えば、先程の「A，B，C の３人を一列に並べる方法」では、『ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA』の６通りが答えでした。

辞書では、A□□，B□□，C□□は『A□□』が一番最初に載っています。次に、AB□とAC□では、『AB□』の方が先に載っています。

そのため、辞書式配列では、最初に書き出すのは『ABC』、次に書き出すのは『ACB』、その次が『BAC』といった順で書き出すことになります。

続いては、樹形図を復習しましょう。「A，B，C，D の４人を一列に並べる方法」を例にみていきましょう。

図のように、枝分かれさせて並び順などを表現するものを樹形図と言います。ここで書き出すときに辞書式配列を意識すると、書きそびれが減るので意識しましょう。

\(\small {}_n \mathrm{P}_r \)ってナニ？

さきほど「A，B，C，D の４人を一列に並べる方法」が何通りか求める際、樹形図を利用しました。

ただ、これから学習する問題では登場する人数が増えたりするので、樹形図を書くのが困難となります。そこで樹形図を利用せず、計算で求めることを考えてみましょう。

「A，B，C，D，E の５人から３人を選んで一列に並べる方法」を例にみていきましょう。

同じように求めてみましょう！

さて、本題の \(\small {}_n \mathrm{P}_r \) の紹介をしていきましょう！

まずは、さきほどの例題１(２)の問題を例に見ていきます。

ちなみに『５！』は『５の階乗』と読みます。授業などで『５ビックリ』と読んでしまうとかなり恥ずかしいので気をつけてくださいね。（昔、実際に生徒でいました、笑）

これらを公式化してみましょう。

さて、ここまでは大丈夫だったでしょうか？

続いては、０! と \(\small {}_n \mathrm{P}_0 \) の説明をしていきましょう。

どちらの値も１となりますが、０になると思った人もいるんじゃないですかね？

\(\small 0! \) は０から１までの整数をかける？ たぶん０かな？

\(\small {}_n \mathrm{P}_0 \) は \(\small n \) から 0 個の整数をかける？ ０？それとも１？

いろんな解釈でいろんな値になりそうですが、この２つの値は『求める』というわけではなく、定義として『決まっている』ものです。なぜ、そう決まったかは、単にそう決めてしまうと色々な計算で矛盾が生じなかったと考えましょう。

続いては実践的な公式を紹介していきたいと思います。

この公式は例題１の計算をふまえたものです。例題１の類題を公式を利用して求めてみましょう！

\(\small 4! \) などの値は今後よく利用します。

毎回計算するのは大変なので、ある程度は覚えてしまう人がほとんどです。

ポイントはピンクの部分です。\(\small 5!=120 \) くらいまでは覚えてしまう人が多いと思いますが、\(\small 6! \) 以降は覚えるか微妙なラインです。

でも、覚えていないと \(\small 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \) をまともにかけ算することになり、微妙に時間がかかります。なので、\(\small 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =5! \) であることを利用して、\(\small 6 \times 5! = 6 \times 120 \)を計算すると楽に求めることができます。

ちなみに、 \(\small 7! \) は \(\small 7 \times 6! \) を計算します。もし、\(\small 6!=720 \) を覚えているなら、\(\small 7 \times 720 \) を計算すれば良いですが、\(\small 6!=720 \) を覚えていない場合は、先に \(\small 6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 \) を計算してから、\(\small 7!\) を計算しましょう。

先ほどは公式を利用するだけで解ける問題でしたが、実戦的な問題も見ていきたいと思います。

でも、その前に言わせてください！！

ここから、数Ａ場合の数・確率で一番重要なポイントです！！！

次の例題で紹介する考え方は、これから学習していく「場合の数・確率」のほとんどの問題で利用します。

なので、絶対に流し見ないように気をつけてください！！

(3)と(4)では同じ『隣り合わない』という問題でしたが、違う考え方を利用しました。

そして、この２つの考え方が、今後の場合の数・確率のほとんどの問題に関わってくるものとなります。

さて、それとは別になぜ(3)と(4)では違う考え方を利用したのでしょうか？

まず、(3)の問題から見直します。実はこの(3)は、(4)の考え方 つまり 不要なものが含まれないように数えることができます。

先に、A,B以外の4人を先に並べ、A,Bを隙間と両端の5か所に1人ずつ入れていくことを考えると、

　\(\small 4! \times {}_5 \mathrm{P}_2 = 24 \times 20 =480\) 通り

このように同じ答えとなりました。では、(4)の問題はどうでしょうか？

　(総数)\(\small – \)(隣り合う)\(\small =720-144=576 \) 通り

(4)の\(\small 144 \) 通りと一致しませんね。なぜでしょう？？？

実は「隣り合う人数」がポイントです。

先ほどの\(\small 576\) 通りは、「(総数)\(\small – \)(A,B,C の３人が隣り合う)」を計算したものです。

(4)は「A,B,C のうち、どの２人も隣り合わない」という問題でした。どうでしょう？気づきますか？

さきほどの「(総数)\(\small – \)(A,B,C の３人が隣り合う)」を計算したものは、

「(A,B,C のうち、どの２人も隣り合わない)+(A,B,C のうち、２人だけが隣り合う)」

となってしまいます。つまり、「A,B,C のうち、２人だけが隣り合う」も含まれていたのが原因でした。まとめると、

〇桁の整数を作る問題ってナニ？

さて、続いては〇桁の整数シリーズです。

さて、今回の問題の一番のポイントは最高位の位（この問題では百の位）です。

問題文では３桁という指定があります。なので、０,３,１の順に並べた 031 は３桁整数とは呼べないのでＮＧです。

「〇の倍数」シリーズは、さきほどの例題の問題以外に、５の倍数、６の倍数などが出てきます。

５の倍数は一の位が０のときと、５のときで分けて計算していきます。

６の倍数は「３の倍数」かつ「偶数」と考えて解いていきます。

円順列・数珠順列を紹介！

円順列ってナニ？

続いては円順列を見ていきましょう。

『円順列』とは円を並べるわけではなく、円形に並べていくことを言います。

ここでも、例題３で紹介した２つの考え方を利用していきます。

まずは、下の絵を見てください。

席が４つあります。この席に４人を座らせる方法が何通りあるか求めましょう。

下の図の①②③④の順に座らせることを考えてみます。

このとき、４人を一列に並べる方法と同じなので、 \(\small 4!=24 \) 通りになります。

では、次のような座席ではどうでしょうか？

さっきと同じでしょ！って思った人が多いと思いますが、違うんです！！

詳しく見ていきましょう！

上で紹介した考え方は、これからの問題でも使うのでしっかりと理解しておきましょう。

では、上の内容を踏まえて、円順列の公式を紹介します。

問題を解く際、基本的には解法２の考え方(固定)を利用して考えていくと解きやすいことが多いです。

では、公式を利用した問題を見てみましょう。ただ公式を利用するだけだと、解けないことが多いので注意してくださいね！

円順列でも隣り合わない問題は、人数によって使い分けてください。

数珠順列ってナニ？

数珠順列とは、数珠やネックレスなどを作ったものを言います。円順列との違いは表裏が無いことです。つまり、ひっくり返すことができる点です。

赤、青、黄、緑の４色の玉にひもを通してネックレスを作るとき、何通りできるか考えてみましょう。

では、公式化しておきましょう！

上下に区別が無い状態で、円形に並べる際には２で割ると覚えておきましょう！

まとめ！

順列の問題はいかがでしたか？

一つひとつの例題をしっかりと理解することはもちろん、それぞれの問題の違いを比較することが重要です。次の内容に入る前にしっかりと復習しおきましょう。