こんにちは。ねこの数式のnanakoです。
中学校でも無理数は習いましたが、高校ではパワーアップして出てきます。
分母の有理化などはもちろんですが、ルートの中にルートが入っている2重根号なるものまで出てきます。
基本的な計算方法はもちろん、応用的な計算テクニックまで丁寧に説明していくので頑張りましょう。
1.分母の有理化
無理数の基本計算
まずは復習です。
例題1
次の式を計算せよ。
\(\small(1) \left(2\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\)
\(\small(2) \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2\)
解説
\(\small\begin{eqnarray}
(1)& &\left(2\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\\
&=&2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}-\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}-\left(\sqrt{6}\right)^2\\
&=&2\cdot3+2\sqrt{18}-\sqrt{18}-6\\
&=&6+6\sqrt{2}-3\sqrt{2}-6\\
&=&3\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
\(\small\begin{eqnarray}
(2)& &\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2\\
&=&\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2\\
&=&3-2\sqrt{6}+2\\
&=&5-2\sqrt{6}
\end{eqnarray}\)
\(\small(2)\) は、かなり丁寧に公式を使いましたが、実際の途中式としては、
\(\small\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}\)
こんな感じですかね。実はちょっとしたテクニックを用いると、途中式がまったくいらなくなるので、見ていきましょう。
Technique【技巧】
\(\small (a+b)^2=a^2+b^2+2ab\) の順番で公式を利用すると計算が楽になります!
\(\small a^2+b^2\) の部分を先に計算すると、\(\small \left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2=3+2=5\) となります。この部分は途中式無しで暗算で出せますね。
次に \(\small 2ab\) の部分ですが、この部分も途中式はいりませんね。つまり、途中式無しで \(\small5-2\sqrt{6}\) を求めることができます。
この計算方法は、後々も役に立つので出来るようしておきましょう。
分母の有理化
中学校でも分母の有理化はありましたね。
\(\small \displaystyle \frac {1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1\times\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
分母にある \(\small\sqrt{3}\) を分母分子にかければ良かったですね。
高校生バージョンの分母の有理化は、分母に項が2つある問題です。どうするか見ていきましょう。
例題2
次の式の分母を有理化せよ。
\(\small \displaystyle(1) \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\\[10pt]
\small \displaystyle(2) \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
Technique【技巧】
\(\small (\color{blue}{a+b})(\color{red}{a-b})=a^2-b^2\) を利用します。
解説
\(\small(1)\) 分母にある \(\small \sqrt{5}+\sqrt{2}\) を上の公式の \(\color{blue}{\small a+b}\) に見立てて、\(\color{red}{\small a-b}\) にあたる \(\small \color{red}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\) を分母と分子にかけましょう。
\(\small \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\\[2pt]
\small \displaystyle\begin{eqnarray}
&=&\frac{1\times\color{red}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\color{red}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\\[2pt]
\end{eqnarray}\)
\(\small(2)\) 次の計算は、それぞれの分数の分母を有理化しようとすると、偶然 (?) 通分もできている問題です。この偶然はよく起きる偶然です。(それはもはや偶然とは呼べない気が…) ちなみに、\(\small \frac{A}{B}-\frac{B}{A}=\frac{A^2-B^2}{AB}\) をイメージすると良いですよ。
\(\small \displaystyle\begin{eqnarray}\\[0pt]
& &\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[2pt]
&=&\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2-\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}\\[2pt]
&=&\frac{\left(7-4\sqrt{3}\right)-\left(7+4\sqrt{3}\right)}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[2pt]
&=&\displaystyle\frac{-8\sqrt{3}}{1}\\[2pt]
&=&-8\sqrt{3}\\
\end{eqnarray}\)
① 分母にある式の符号を変えたものを、分母分子にかける。
② 分母が (2乗)-(2乗) になる。
③ あとは頑張って計算です!(笑)
さて、分母の項が1つ,2つと来たら、次は3つじゃないですかね?
次の例題を理解すれば、分母に項が何個あっても有理化ができるようになります。
例題3
次の式の分母を有理化せよ。
\(\small \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
Technique【技巧】
分母にある項のうち、ルートの中身が1番大きいものを1番右になるように並べ替える。
これをやるか、やらないかでけっこう計算量が変わるので、忘れずにやりましょう。
なぜ?と思った人は解説を読んだ後、解説の下の部分を読んでください。
解説
① 分母にある \(\small \sqrt{5},\,\,\sqrt{3},\,\,\sqrt{2}\) のうち、ルートの中身が一番大きい数 \(\small \sqrt{5}\) が一番右になるように並べる。
② 前の2つの項を \(\small A\) とおく。
③ 例題2と同じように有理化する。(分母にルートが無くても符号を変えたものをかけます)
④ \(\small A\) を元に戻して、展開する。
⑤ もう一度分母を有理化しておしまいです。
\(\small \displaystyle\begin{eqnarray}
\frac{1}{\color{red}{\sqrt{5}}-\sqrt{3}+\sqrt{2}}
&=&\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\color{red}{\sqrt{5}}}\\[4pt]
&=&\frac{1}{A+\sqrt{5}} \left(A=\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\\[4pt]
&=&\frac{A-\sqrt{5}}{\left(A+\sqrt{5}\right)\left(A-\sqrt{5}\right)}\\[4pt]
&=&\frac{A-\sqrt{5}}{A^2-5}\\[4pt]
&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2-5}\\[4pt]
&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{5-2\sqrt{6}-5}\\[4pt]
&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2\sqrt{6}}\\[4pt]
&=&-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\times\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times\sqrt{6}}\\[4pt]
&=&-\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}\\
\end{eqnarray}\)
さてさて、分母の順番を入れ替えた理由ですが、先ほどの計算における
\(\small \displaystyle\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{5-2\sqrt{6}-5}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2\sqrt{6}}\)
この部分がポイントです。
もし、\(\small 5-2\sqrt{6}-5=-2\sqrt{6}\) のように分母が単項式ではなく、\(□\small-2\sqrt{6}\) のように項が \(\small2\) 個残っていた場合は、中学校の有理化の方法ではなく、先ほど習った高校生バージョンの有理化を用いることになります。これはかなり面倒な計算となります。
この奇跡が起きてくれた理由は、\(\small \left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\) と \(\small\left(\sqrt{5}\right)^2\) が同じ数字になったからです。
つまり、この奇跡を起こすためには、\(\small \left(\sqrt{①}\right)^2+\left(\sqrt{②}\right)^2=\left(\sqrt{③}\right)^2\)となる \(\small \sqrt{①}\) と \(\small \sqrt{②}\) を \(\small A\) としてまとめる必要があります。
このとき、\(\small \sqrt{①}\), \(\small\sqrt{②}\), \(\small\sqrt{③}\)のうち一番大きい数は\(\small\sqrt{③}\) です。
つまり、一番大きい数を一番右にもっていく理由は、先ほどの奇跡を自動的に起こすためです。
ちなみにこの奇跡は必ず起こせるという訳ではないです。\(\small \left(\sqrt{①}\right)^2+\left(\sqrt{②}\right)^2=\left(\sqrt{③}\right)^2\) となるような組合わせがあるとは限りません。
組合わせが無いときは、あきらめて分母の項が2つの有理化をしてください。
対称式
\(\small x^3-x^2y-xy^2+y^3\) の \(\small x\) と \(\small y\) を入れ替えると \(\small y^3-y^2x-yx^2+x^3\) となりますが、これは元の式と同じ式ですよね。このように元の式と同じ式となるものを対称式と言います。
すべての対称式は、基本対称式である \(\small x+y,\,\,xy\) を使って表すことができます。これを利用した問題を見ていきましょう。
例題4
\(\displaystyle\small x=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}},\,\,y=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\) のとき、次の値を求めよ。
\(\displaystyle\small(1) x+y\hspace{58pt}(2) xy\\[8pt]
\small(3) x^2+y^2\hspace{50pt}(4) x^3+y^3\\[8pt]
\displaystyle\small(5) x^4+y^4\hspace{50pt}(6) \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
これらの問題を解く上では、下の公式を利用することとなります。
\(\small (2)\) 以外は丸暗記ではなく自分で作るくらいのつもりの方が良いと思います。
逆に、\(\small (2)\) はすぐに出てくるように覚えておきましょう。
【公式】対称式関連の公式
\(\small(1) x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)
\(\small(2) x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
\(\small(3) x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2(xy)^2\)
解説
\(\small\displaystyle\begin{eqnarray}
x&=&\frac{1\times\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\\[3pt]
y&=&\frac{1\times\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\\[1pt]
\end{eqnarray}\)
\(\small\displaystyle
(1) x+y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}
=\sqrt{5}\)
\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(2) xy &=& \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\[1pt]
&=&\frac{1}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[1pt]
&=&\frac{1}{5-3}\\[1pt]
&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray}\)
\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(3) x^2+y^2&=&(x+y)^2-2xy\\[1pt]
&=&(\sqrt{5})^2-2\cdot\frac{1}{2}\\[1pt]
&=&5-1\\[1pt]
&=&4\end{eqnarray}\)
\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(4) x^3+y^3&=&(x+y)^3-3xy(x+y)\\[1pt]
&=&(\sqrt{5})^3-3\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\\
&=&\frac{7}{2}\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(5) x^4+y^4&=&\left(x^2+y^2\right)^2-2(xy)^2\\[1pt]
&=&4^2-2\left(\frac{1}{2}\right)^2\\
&=&\frac{31}{2}\end{eqnarray}\)
\(\small\displaystyle
(6) \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{4}{\displaystyle\frac{1}{2}}=8\)
2.2重根号
まずは下のテクニックをもう一度確認しましょう。
Technique【技巧】
\(\small (a+b)^2=a^2+b^2+2ab\) の順番で公式を利用すると計算が楽になります!
例.\(\small(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=5+3+2\sqrt{5\times3}=8+2\sqrt{15}\)
では、今の計算と逆の作業をしてみましょう。
例.\(\small 7-2\sqrt{10}=(5+2)-2\sqrt{5\times2}=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2\)
かけて \(\small 10\)、足して \(\small 7\) となる \(\small 2\) 数を見つければOKです。まるで因数分解ですね。では、この計算を利用した問題をみていきましょう。
例題5
次の式の \(\small 2\) 重根号を外せ。
\(\small(1) \sqrt{5+2\sqrt{6}}\)
\(\small(2) \sqrt{9-\sqrt{56}}\)
\(\small(3) \sqrt{7-4\sqrt{3}}\)
\(\small(4) \sqrt{2+\sqrt{3}}\)
【公式】2重根号の外し方
\(\small a>b>0\) とするとき、\(\small \sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\)
文字だらけで分かりづらいですね。公式の仕組みを先ほどの Technique【技巧】での話を参考に見てみましょう。
\(\small \sqrt{(\color{green}{a+b})\pm2\sqrt{\color{blue}{ab}}}\) の \(\small \color{green}{a+b}\) の部分は足し算、\(\small \color{blue}{ab}\) の部分はかけ算を表しています。
足して \(\small \color{green}{a+b}\)、かけて \(\small \color{blue}{ab}\) となる組は \(\small a,\,\,b\) なので、Technique【技巧】より、\(\small \sqrt{(a+b)\pm\sqrt{ab}}=\sqrt{\left(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\right)^2}\) となります。
\(\small \left(\sqrt 〇\right)^2\) の形になったので、ルートを外して \(\small \sqrt{a}\pm\sqrt{b}\) となるってことです。
ここの仕組みはちゃんと理解しておいた方がよいですよ♪
公式の使い方としては、\(\small \sqrt{\color{green}{A}\pm\color{red}{2}\sqrt{\color{blue}{B}}} \) において、かけて \(\small \color{blue}{B}\)、足して \(\small \color{green}{A}\) となる組を見つけて、それぞれにルートをつければ、おしまいです。その際、\(\small \sqrt{B}\) の前に \(\small \color{red}{2}\) がちゃんとあるか確認することが重要です。
解説
\(\small(1)\) かけて \(\small 6\)、足して \(\small 5\) となる組は、 \(\small 3\) と \(\small 2\) なので、
\(\small\begin{eqnarray}
\sqrt{5+2\sqrt{6}}&=&\sqrt{(3+2)+2\sqrt{3\times2}}\\
&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
\(\small(2)\) \(\small \sqrt{56}\) の前に \(\small \color{red}{2}\) が無いと公式が使えません。
\(\small\sqrt{9-\sqrt{56}}=\sqrt{9-\sqrt{4\times14}}=\sqrt{9-\color{red}{2}\sqrt{14}}\)
かけて \(\small 14\)、足して \(\small 9\) となる組は、 \(\small 7\) と \(\small 2\) なので、
\(\small\begin{eqnarray}
\sqrt{9-2\sqrt{14}}&=&\sqrt{(7+2)-2\sqrt{7\times2}}\\
&=&\sqrt{7}-\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
\(\small 7\) と \(\small 2\) の順番を変えて、\(\small\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{(2+7)-2\sqrt{2\times7}}=\sqrt{2}-\sqrt{7}\) とするのはNGです。\(\small\sqrt{9-2\sqrt{14}}\) は正の数なのに対して、\(\small \sqrt{2}-\sqrt{7}\) は負の数なのでイコールが成り立ちません。
\(\small 2\) つの数字の組を見つけたら、大きい順に並べるくせをつけましょう。
\(\small(3)\) \(\small \sqrt{3}\) の前の数字は \(\small 4\) ではなく \(\small 2\) にしたいので、
\(\small 4\sqrt{3}=\color{red}{2}\times2\sqrt{3}=\color{red}{2}\times\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=\color{red}{2}\sqrt{12}\) より
\(\small\begin{eqnarray}
\sqrt{7-4\sqrt{3}}&=&\sqrt{7-2\sqrt{12}}\\[0pt]
&=&\sqrt{(4+3)-2\sqrt{4\times3}}\\[0pt]
&=&\sqrt{4}-\sqrt{3}\\[2pt]
&=&2-\sqrt{3}\\
\end{eqnarray}\)
\(\small(4)\) この問題は、\(\small\sqrt{3}\) の前に \(\small \color{red}{2}\) を作るのが一苦労です。知らないと無理ゲーです。
\(\displaystyle\small\begin{eqnarray}
\sqrt{2+\sqrt{3}}&=&\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{1}}\\[2pt]
&=&\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\times2}{1\times2}}\\[2pt]
&=&\sqrt{\frac{4+\color{red}{2}\sqrt{3}}{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt2}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{(3+1)+2\sqrt{3\times1})}}{\sqrt{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{1}\right)\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\
\end{eqnarray}\)
\(\small(1)\) ~ \(\small(3)\) はコツさえ掴めば簡単ですが、\(\small(4)\) は知らないと対応しきれない問題なのでしっかりと練習しておきましょう。
頑張りましょう!
3.まとめ!
高校の無理数はいかがでしたか?個人的には『展開・因数分解』よりは、簡単な問題が多いような気がします。
定期試験では得点源にしたい問題になるので、計算ミスがでないように練習量をこなしておきましょう!
続いては『不等式』に入っていきましょう。
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