分かりやすい【無理数】有理化や２重根号など完全攻略！

\(\small\begin{eqnarray}
(1)&　&\left(2\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\\
&=&2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}-\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}-\left(\sqrt{6}\right)^2\\
&=&2\cdot3+2\sqrt{18}-\sqrt{18}-6\\
&=&6+6\sqrt{2}-3\sqrt{2}-6\\
&=&3\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)

\(\small\begin{eqnarray}
(2)&　&\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2\\
&=&\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2\\
&=&3-2\sqrt{6}+2\\
&=&5-2\sqrt{6}
\end{eqnarray}\)

\(\small(1)\)　分母にある \(\small \sqrt{5}+\sqrt{2}\) を上の公式の \(\color{blue}{\small a+b}\) に見立てて、\(\color{red}{\small a-b}\) にあたる \(\small \color{red}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\) を分母と分子にかけましょう。
\(\small　　　\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\\[2pt]
\small　\displaystyle\begin{eqnarray}
&=&\frac{1\times\color{red}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\color{red}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\\[2pt]
\end{eqnarray}\)

\(\small(2)\)　次の計算は、それぞれの分数の分母を有理化しようとすると、偶然 (？) 通分もできている問題です。この偶然はよく起きる偶然です。(それはもはや偶然とは呼べない気が…) ちなみに、\(\small \frac{A}{B}-\frac{B}{A}=\frac{A^2-B^2}{AB}\) をイメージすると良いですよ。
\(\small　\displaystyle\begin{eqnarray}\\[0pt]
&　&\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[2pt]
&=&\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2-\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}\\[2pt]
&=&\frac{\left(7-4\sqrt{3}\right)-\left(7+4\sqrt{3}\right)}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[2pt]
&=&\displaystyle\frac{-8\sqrt{3}}{1}\\[2pt]
&=&-8\sqrt{3}\\
\end{eqnarray}\)

\(\small　\displaystyle\begin{eqnarray}
\frac{1}{\color{red}{\sqrt{5}}-\sqrt{3}+\sqrt{2}}
&=&\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\color{red}{\sqrt{5}}}\\[4pt]
&=&\frac{1}{A+\sqrt{5}}　\left(A=\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\\[4pt]
&=&\frac{A-\sqrt{5}}{\left(A+\sqrt{5}\right)\left(A-\sqrt{5}\right)}\\[4pt]
&=&\frac{A-\sqrt{5}}{A^2-5}\\[4pt]
&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2-5}\\[4pt]
&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{5-2\sqrt{6}-5}\\[4pt]
&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2\sqrt{6}}\\[4pt]
&=&-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\times\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times\sqrt{6}}\\[4pt]
&=&-\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}\\
\end{eqnarray}\)

\(\small\displaystyle\begin{eqnarray}
x&=&\frac{1\times\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\\[3pt]
y&=&\frac{1\times\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[1pt]
&=&\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\\[1pt]
\end{eqnarray}\)

\(\small\displaystyle
(1)　x+y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}
=\sqrt{5}\)

\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(2)　xy &=& \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\[1pt]
&=&\frac{1}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\\[1pt]
&=&\frac{1}{5-3}\\[1pt]
&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray}\)

\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(3)　x^2+y^2&=&(x+y)^2-2xy\\[1pt]
&=&(\sqrt{5})^2-2\cdot\frac{1}{2}\\[1pt]
&=&5-1\\[1pt]
&=&4\end{eqnarray}\)

\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(4)　x^3+y^3&=&(x+y)^3-3xy(x+y)\\[1pt]
&=&(\sqrt{5})^3-3\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\\
&=&\frac{7}{2}\sqrt{5}\end{eqnarray}\)

\(\small\begin{eqnarray}\displaystyle
(5)　x^4+y^4&=&\left(x^2+y^2\right)^2-2(xy)^2\\[1pt]
&=&4^2-2\left(\frac{1}{2}\right)^2\\
&=&\frac{31}{2}\end{eqnarray}\)

\(\small\displaystyle
(6)　\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{4}{\displaystyle\frac{1}{2}}=8\)

\(\small(1)\)　かけて \(\small 6\)、足して \(\small 5\) となる組は、 \(\small 3\) と \(\small 2\) なので、
\(\small\begin{eqnarray}
　　\sqrt{5+2\sqrt{6}}&=&\sqrt{(3+2)+2\sqrt{3\times2}}\\
&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)

\(\small(2)\)　\(\small \sqrt{56}\) の前に \(\small \color{red}{2}\) が無いと公式が使えません。
　　\(\small\sqrt{9-\sqrt{56}}=\sqrt{9-\sqrt{4\times14}}=\sqrt{9-\color{red}{2}\sqrt{14}}\)
　かけて \(\small 14\)、足して \(\small 9\) となる組は、 \(\small 7\) と \(\small 2\) なので、
\(\small\begin{eqnarray}
　　\sqrt{9-2\sqrt{14}}&=&\sqrt{(7+2)-2\sqrt{7\times2}}\\
&=&\sqrt{7}-\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

\(\small(3)\)　\(\small \sqrt{3}\) の前の数字は \(\small 4\) ではなく \(\small 2\) にしたいので、
　\(\small 4\sqrt{3}=\color{red}{2}\times2\sqrt{3}=\color{red}{2}\times\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=\color{red}{2}\sqrt{12}\) より
　　\(\small\begin{eqnarray}
　\sqrt{7-4\sqrt{3}}&=&\sqrt{7-2\sqrt{12}}\\[0pt]
&=&\sqrt{(4+3)-2\sqrt{4\times3}}\\[0pt]
&=&\sqrt{4}-\sqrt{3}\\[2pt]
&=&2-\sqrt{3}\\
\end{eqnarray}\)

\(\small(4)\)　この問題は、\(\small\sqrt{3}\) の前に \(\small \color{red}{2}\) を作るのが一苦労です。知らないと無理ゲーです。
\(\displaystyle\small\begin{eqnarray}
　　\sqrt{2+\sqrt{3}}&=&\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{1}}\\[2pt]
&=&\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\times2}{1\times2}}\\[2pt]
&=&\sqrt{\frac{4+\color{red}{2}\sqrt{3}}{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt2}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{(3+1)+2\sqrt{3\times1})}}{\sqrt{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{1}\right)\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\[2pt]
&=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\
\end{eqnarray}\)