こんにちは。ねこの数式のnanakoです。
因数分解の問題の中でも応用的な問題を紹介していきたいと思います。
どれも丸暗記では解けない問題ばかりですが、丁寧に分かりやすく解説していくので、頑張りましょう♪
基本的な問題は以下の記事を参考にしてください。
文字定数として扱う
次数の低い文字に注目！
『展開・因数分解②』の例題２で「文字が複数あるときは１文字に注目」を確認しましたが、覚えていますか？
前回は式の中に含まれていた文字が \(\small x\) と \(\small a\) と \(\small b\) でした。
数学の世界では、\(\small a\) や \(\small b\) は \(\small x\) に比べると、文字定数 (見た目は文字だけど定数扱い)として扱うことが多いです。
そのため、\(\small x\) について注目して因数分解しました。
ただ、実際の問題では、どの文字に注目するか分かりづらいことがほとんどです。そんなときは、以下の Tactics【戦術】に注目しましょう。
文字が複数ある場合の因数分解は、次数の低い文字に注目！
次の式を因数分解せよ。
\(\small(1) x^2+xy+2x+y+1\)
\(\small(2) a^3+a^2b+a^2-b\)
この系統の問題は、なんとなくで偶然にも因数分解できることもありますが、セオリーに従って因数分解しないと解けない問題が多いです。
しっかりと次数を調べてから因数分解を始めましょう！
２次の項、１次の項、定数項に分ける！
次もなんとなくでは出来ない因数分解の問題です。
次の式を因数分解せよ。
\(\small x^2-xy-2y^2+2x-y+1\)
\(\small x\) に注目するとき、\(\small x^2\) が含まれる項、\(\small x\) が含まれる項、\(\small x\) が含まれていない項に分けて整理していきます。それぞれのグループで計算の仕方が違うので注意しましょう。
どうだったでしょうか？必要に応じて、『展開・因数分解②』例題３を復習しましょう。
続いての問題は、先ほどの例題２の応用です。頑張りましょう！
次の式を因数分解せよ。
\(\small(1) ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c)\)
\(\small(2) (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)
\(\small (a-b)(b-c)(c-a)\) は交代式といいます。交代式とは、変数を入れ替えると符号だけが変わるものです。\(\small (a+b)(b+c)(c+a)\) は対称式といいます。対称式とは、変数を入れ替えても元に戻るものです。
因数分解の問題の中でもこの系統が一番難しいと思います。ここが踏ん張りどころです。ファイト！
複２次式
\(\small a\neq0\) のとき、\(\small ax^4+bx^2+c\) の形で表される式のことを \(\small x\) についての複２次式と呼びます。
続いては、この複２次式の因数分解を見ていきたいと思います。
次の式を因数分解せよ。
\(\small x^4-3x^2-4\)
\(\small\begin{eqnarray}
& &x^4-3x^2-4\\
&=&A^2-3A-4 (A=x^2)\\
&=&(A-4)(A+1)\\
&=&(x^2-4)(x^2+1)\\
&=&(x-2)(x+2)(x^2+1)\end{eqnarray}\)
この問題は、『展開・因数分解②』例題４と同じ考え方ですね。
では、次の問題はどうでしょう？同じようには解けないですよ (笑)
次の式を因数分解せよ。
\(\small x^4+2x^2+9\)
次の①～⑤の手順で因数分解をしていきます。④の手順までは候補が2つずつあるので、⑤は④で成功した方を選んでください。
複雑そうに見えますが、慣れれば簡単に因数分解できるようになるので頑張りましょう。
まとめ and 確認テスト！
今回の因数分解は難しかったですね。特に、例題２と例題３は凶悪だったと思います (汗)
ただ、意外と慣れてしまうと感じてしまうので、最初だけ我慢して頑張りましょう！
『展開・因数分解』の有名な問題は以上です。どれもこれも重要な計算方法なので、しっかりと練習して、最高の高校デビューをしましょう！
続いては、無理数の計算を見ていきましょうね。
確認テストはこちらから！
続きの内容はこちらから！
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