こんにちは。ねこの数式のnanakoです。
今回は、三角関数の最大最小の問題を中心に紹介していきたいと思います。
三角関数の公式や、三角関数の合成を利用するので、心配な人は下の記事を参考にしてください。また、方程式・不等式の問題と同じように解くことが多いので、それらの内容が不安な人も、下の記事を参考にしてください。
三角関数の最大最小の定番問題！
どの単元でもそうですが、最大値・最小値の問題は、方程式・不等式の問題と同じような考え方をすることが多いです。
実際に見てみましょう。
２次関数の最大最小にすり替えってナニ？
どうでしたか？
方程式・不等式の際には、２次方程式・２次不等式につなげましたが、最大最小の問題では、２次関数の最大最小の問題につなげました。
上の例題は、方程式・不等式の問題とセットで復習しておきましょう。
合成を利用した最大最小ってナニ？
（３）の角度が出せない状況での対応は、問題によっては \(\small \theta = \) ○ を代入するという回避方法が選べないこともあるので、※の方法も念のためにおさえておきましょう。
この合成を利用した最大値・最小値の問題は、応用問題でもよく使うものとなるので、しっかりと練習しておきましょう。
三角関数の最大最小の応用問題！
まずは置き換えを利用して２次関数の最大最小につなげる問題の応用問題です。例題１の上位互換というイメージです。
\(\small \sin \theta \) と \(\small \cos \theta \) について、対称性があるのがポイントになります。
少し複雑に感じますかね？
Part１～Part３の３つのパート分けて理解しましょう。
- Part１置いたものの範囲を調べる！
\(\small \sin \theta + \cos \theta \) の範囲（最大最小）を求めたいので、合成する。
- Part２与えられた関数をｔを用いて置き換え！
２乗して \(\small \sin \theta \cos \theta \) をｔで表すのがポイント。
- Part３最大最小を求める！
置き換えた式が２次関数となっていれば平方完成で求まります。
ちなみに、\(\small f( \theta )=t^2-2t \) という式に違和感を感じた人はいましたか？
\(\small f( \theta ) \) は \(\small \theta \) の関数という意味なので、「\(\small t^2-2t \) とイコールというのはおかしい」と考えた人もいたのではないでしょうか？
この \(\small f( \theta )=t^2-2t \) という式は、左辺の \(\small f( \theta ) \) は \(\small 2 \sin \theta \cos \theta -2 \sin \theta -2 \cos \theta +1\) のことで、\(\small 2 \sin \theta \cos \theta -2 \sin \theta -2 \cos \theta +1\) と \(\small t^2-2t \)は等しいという意味になります。
さて、続いては例題２の上位互換みたいな問題を見てみましょう。
今回の問題では \(\small \theta \) に範囲がありませんが、範囲が与えられていた場合は、\(\small \theta \) の範囲から \(\small \displaystyle 2 \theta \, － \frac { π }{6} \) の範囲を求め、\(\small \displaystyle \sin \left( 2 \theta \, ー \frac{π}{6} \right) \) の最大値・最小値を求める流れになります。
例題３と例題４は似ているような式なのでセットで復習しましょう。
共通点は \(\small \sin \theta \cos \theta \) が含まれている。違いは・・・
例題３ → サインとコサインに対称性がある。
例題４ → \(\sin ^2 \theta \) または \(\cos ^2 \theta \) がある。
まとめ！
三角関数の最大値・最小値の問題はいかがでしたでしょうか？
方程式・不等式の問題とつながりが強い問題ばかりなので、一緒に復習すると効率が良いと思います。
また、さらなる応用問題を勉強する上では、今回紹介した内容は当たり前のように使うものばかりなので、しっかりと復習しておきましょう！
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