分かりやすい【集合の要素の個数】記号の意味を説明！

\(\small(1)　A=\{\,\)\(\small x\)\(\small \,|\,\)\(\small x\,\)は \(\small 6\) の正の約数\(\small \,\}\)
　まずは、\(\small x\,\)は \(\small 6\) の正の約数の部分から見ていきます。
　\(\small 6\) の正の約数は \(\small 1,\,2,\,3,\,6\) ですね。つまり、\(\small x=1,\,2,\,3,\,6\) ということです。
　\(\small x\) の部分を見ると、\(\small x\) のまま書き出せという指示となっているので、
　　\(\small A=\{\,1,\,2,\,3,\,6\,\}\)

\(\small(2)　B=\{\,\)\(\small {2n}\)\(\small \,|\,\)\(\small 0<n<4,\ n\in\mathbb{Z}\)\(\small \,\}\)　ただし、\(\small \mathbb{Z} \) は整数全体の集合
　\(\small n\in\mathbb{Z}\) と \(\small \mathbb{Z} \) は整数全体の集合から、\(\small n\) は整数ということが分かります。
　さらに \(\small 0<n<4\) から \(\small n=1,\,2,\,3\) となります。
　今回は \(\small 2n\) となっているので、\(\small n\) の値を \(\small 2\) 倍して書き出します。
　よって、\(\small B=\{\,2,\,4,\,6\,\}\)

\(\small(1)\)　それぞれの集合の要素を書き出すと
　　\(\small A=\{\,1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,12\,\}\)
　　\(\small B=\{\,0,\,2,\,4,\,6,\,8\,\}\)
　\(\small 2\) つの集合に共通の要素は、\(\small A \cap B=\{\,2,\,4,\,6\,\}\)
　\(\small 2\) つの集合を合わせた要素は、\(\small A \cup B=\{\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12\,\}\)

\(\small(2)\)　この問題では集合の要素を書き出すことができないので、数直線を利用して『要素説明型』で、共通部分と和集合を答えていきたいと思います。

　\(\small A\cap B=\{\,x\,|\,1≦x<5\,\}\)

　\(\small A\cup B=\{\,x\,|\,0<x≦7\,\}\)

\(\small U=\{\,\)\(\small1\)\(\small,\,\)\(\small2\)\(\small,\,3,\,\)\(\small4\)\(\small,\,5,\,6,\,7,\,\)\(\small8\)\(\small,\,9,\,10\,\}\)
\(\small(1)\)　集合 \(\small A=\{\,\)\(\small1,\,2,\,4,\,8\)\(\small\,\}\) に含まれない要素を答えればよいので、
　　\(\small \overline{A}=\{\,3,\,5,\,6,\,7,\,9,\,10\,\}\)

\(\small(2)\)　集合 \(\small A\) に含まれない要素、かつ、集合 \(\small B\) に含まれる要素を答えれば良いのですが、分かりづらくないですか？\(\small (1)\) の答えを利用しましょう。
　　\(\small \overline{A}=\{\,3,\,5,\,\)\(\small 6\)\(\small ,\,7,\,9,\,\)\(\small10\)\(\small\,\}\) と、
　　\(\small B=\{\,2,\,4,\,\)\(\small6\)\(\small,\,8,\,\)\(\small10\)\(\small\, \}\)
　の共通の要素を求めればよいので、\(\small \overline{A} \cap B=\{\,\)\(\small6,\,10\)\(\small\,\}\)

\(\small (1)\) と \(\small (2)\) は例題３と同じ問題です。
\(\small U=\{\,\)\(\small1\)\(\small,\,\)\(\small2\)\(\small,\,3,\,\)\(\small4\)\(\small,\,5,\,6,\,7,\,\)\(\small8\)\(\small,\,9,\,10\,\}\)
\(\small(1)\)　集合 \(\small A=\{\,\)\(\small1,\,2,\,4,\,8\)\(\small\,\}\) に含まれない要素を答えればよいので、
　　\(\small \overline{A}=\{\,3,\,5,\,6,\,7,\,9,\,10\,\}\)

\(\small(2)\)　集合 \(\small A\) に含まれない要素、かつ、集合 \(\small B\) に含まれる要素を答えれば良いのですが、分かりづらくないですか？\(\small (1)\) の答えを利用しましょう。
　　\(\small \overline{A}=\{\,3,\,5,\,\)\(\small 6\)\(\small ,\,7,\,9,\,\)\(\small10\)\(\small\,\}\) と、
　　\(\small B=\{\,2,\,4,\,\)\(\small6\)\(\small,\,8,\,\)\(\small10\)\(\small\, \}\)
　の共通の要素を求めればよいので、\(\small \overline{A} \cap B=\{\,\)\(\small6,\,10\)\(\small\,\}\)

\(\small (3)\)　ド・モアブルの定理より、 \(\small \begin{align} \overline{(\overline{A} \cap B)}&=\overline{(\overline{A})}\cup \overline{B}\\
&=A\cup \overline{B}\end{align}\)
　よって、\(\small A\cup \overline{B}\) は \(\small \overline{A} \cap B=\{\,\)\(\small6,\,10\)\(\small\,\}\) の補集合なので、
　\(\small A\cup \overline{B}=\{\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,7,\,8,\,9\,\}\)

\(\small \,50\,\)人のクラスを全体集合\(\small\,U\,\)とし、スマブラ、ポケモンをやったことがある人の集合をそれぞれ \(\small A,\ B\,\)とする。このとき、\(\small n(U)=50,\ n(A)=30,\ n(B)=20,\ n\left(\overline{A\cup B}\right)=10\,\)である。
\(\small\begin{align} (1)　 n(A\cup B)&=n(U)-n\left(\overline{A\cup B}\right)\\&=50-10\\&=40\end{align}\)
　\(\small n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) より、
　　\(\small 40=30+20-n(A\cap B)　\Leftrightarrow　n(A\cap B)=10\)
　よって、\(\small 10\,\)人。

\(\small \begin{align} (2)　n\left(\overline{A}\cap B\right)&=n(B)-n(A\cap B)\\&=30-10\\&=20 \end{align}\)
　よって、\(\small 20\,\)人。

クラス\(\small\,50\,\)人を全体集合とする。ピカチュー、イーブイ、コイキングを捕まえたことがある人の集合をそれぞれ\(\small \,A,\ B,\ C\,\)とする。このとき、\(\small n(A)=20,\ \)\(\small n(B)=18,\ \)\(\small n(C)=18,\ \)\(\small n(A\cap B)=5,\ \)\(\small n(B\cap C)=7,\ \)\(\small n(C\cap A)=8,\ \)\(\small n\left(\overline{A\cup B\cup C}\right)=11\)
どれか１つでも捕まえたことがある人の人数は、
　\(\small \begin{align}n(A\cup B\cup C)&=n(U)-n\left(\overline{A\cup B\cup C}\right)\\&=50-11\\&=39\end{align}\)
\(\small n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\) より、
　\(\small \begin{align} &39=20+18+18-5-7-8+n(A\cap B\cap C)\\
\Leftrightarrow \ &n(A\cap B\cap C)=3\end{align}\)
よって、すべて捕まえたことがある人は、\(\small 3\,\)人。