分かりやすい【２次関数③】２次不等式・判別式・解の配置を解説！

こんにちは。ねこの数式のnanakoです。

今回は、判別式と２次不等式を中心に仕組みまでしっかりと理解して、応用問題を解けるようにするための準備をしていきましょう。

目次！

２次方程式
- 解の公式
- 判別式
放物線とｘ軸の共有点
２次不等式
- ２次不等式の解法の仕組み
- 絶対不等式
まとめ

２次方程式

２次不等式などの話に入る前に、２次方程式を見ていきます。

２次方程式を解く上で、因数分解できないときって、どうすれば良かったか覚えていますか？

解の公式

【公式】解の公式　

２次方程式 $\small \, ax^2+bx+c=0\,$ の解は、
　　 $\small \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
特に、 $\small b$ が偶数のとき、 $\small b=2b’$ とすると、
　　 $\small \displaystyle x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}$

証明はこちら

因数分解ができない２次方程式に対して使っていく公式になります。

例題１

次の方程式を解け。
$\small (1)$ 　 $\small 2x^2+3x-1=0$
$\small (2)$ 　 $\small 5x^2-4x-3=0$

解説

$\small \begin{align}(1)　\displaystyle x&=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{2\cdot 2}\\[5pt] &=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\end{align}$

$\small \begin{align}(2)　\displaystyle x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-5 \cdot (-3)}}{5}\\[5pt] &=\frac{2\pm\sqrt{19}}{5}\end{align}$

さて、続いては、解の個数についてみていきます。

判別式

突然ですが、２次方程式 $\small x^2-6x+9=0$ の解の個数は何個ですか？
実際に解いて解を求めてみましょう。
$\small x^2-6x+9=0$ を因数分解すると、 $\small (x-3)^2=0$
これを解くと　 $\small x=3$

さて、解の個数は何個ですか？
１個だと思いましたよね～？

これが数学の世界の面倒くさいところ・・・

さきほどの方程式は、 $\small (x-3)(x-3)=0$ と表せるので、それぞれのカッコから $\small x=3$ が出てきます。
よって、 $\small 3\,$ が $\small \,2\,$ つ出てくるので、解の個数は２つとなるんです。

続いては、方程式 $\small x^2=-1$ の解の個数はどうでしょう？

２乗して $\small -1$ になる数なんてないって思いますよね。実は、数Ⅱで新しい数『虚数』というものが現れます。

$\small x^2=-1$ を解くと、 $\small x=\pm\sqrt{-1}$ となる。
$\small \sqrt{-1}=i$ （ $\small i$ は虚数単位）とし、これを用いた数を虚数と呼びます。
（今まで習ってきた数字が実数で、実数じゃない数が虚数です）

つまり、 $\small x^2=-1$ の解は $\small \pm\sqrt{-1}$ の２個存在することとなります。
そうなると、２次方程式は、なんでもかんでも解の個数が２個となってしまいますね。
ということで、２次方程式の解の個数を区別して答えられるように、言葉遣いを整理しましょう。

$\small x^2=4　\Leftrightarrow　x=\pm2$
　→ 異なる２つの実数解
$\small x^2-6x+9=0　\Leftrightarrow　x=3$
　→ 重解（２つの解が重なっているので）
$\small x^2=-1　\Leftrightarrow　x=\sqrt{-1}$
　→ 実数解なし（異なる２つの虚数だったから）

ようやく、本題の『判別式』に入ります。判別式とは、２次方程式の解の個数について調べるものです。

【公式】判別式　

２次方程式 $\small \, ax^2+bx+c=0\,$ について、 $\small D=b^2-4ac$ を 判別式 という。２次方程式の解は、
① $\small D>0$ のとき、異なる２つの実数解
② $\small D=0$ のとき、重解
③ $\small D<0$ のとき、実数解なし
となる。

２次方程式が $\small \, ax^2+2b’x+c=0\,$ の形のときは、解の公式は
　　 $\small \displaystyle x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}$
でした。このときの判別式は、 $\small D/4=b’^2-ac$ と表されます。

役割は $\small D$ と全く同じで、
　① $\small D/4>0$ のとき、異なる２つの実数解
　② $\small D/4=0$ のとき、重解
　③ $\small D/4<0$ のとき、実数解なし
となります。

例題２

次の２次方程式の異なる実数解の個数を調べよ。
$\small (1)$ 　 $\small 2x^2-3x+5=0$
$\small (2)$ 　 $\small 9x^2-6x+1=0$

解説

$\small (1)$ 　判別式を $\small D$ とすると、
　　 $\small D=(-3)^2-4\cdot 2 \cdot 5=-31\color{blue}{<0}$
　よって、０個（）
$\small (2)$ 　判別式を $\small D$ とすると、
　　 $\small D/4=(-3)^2-9\cdot 1\color{magenta}{=0}$
　よって、１個（重解）

例題３

次の問いに答えよ。
$\small (1)$ 　２次方程式 $\small x^2-3x+k+2=0$ が異なる $\small \, 2\,$ つの実数解をもつときの定数 $\small k$ のとり得る値の範囲を求めよ。
$\small (2)$ 　２次方程式 $\small x^2+2kx+2k+3=0$ が重解をもつときの $\small k$ の値と、そのときの重解を求めよ。

解説

$\small (1)$ 　判別式を $\small D$ とすると、
　をもつので、 $\small \color{red}{D>0}$ となる。
　よって、 $\small D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (k+2)\color{red}{>0}$
　これを解くと　 $\small \displaystyle k<\frac{1}{4}$

$\small (2)$ 　 $\small x^2+2kx+2k+3=0\ \ \cdots \,$ ①
　判別式を $\small D$ とすると、
　をもつので、 $\small \color{magenta}{D=0}$ となる。
　よって、 $\small D/4=k^2-1\cdot(2k+3)\color{magenta}{=0}$
　因数分解すると、 $\small (k+3))(k-1)=0$
　これを解くと　 $\small k=-3,\, 1$
　 $\small (\normalsizeⅰ\small )$ 　 $\small k=-3$ のとき、① は　 $\small x^2-6x+9=0$
　　因数分解すると、 $\small (x-3)^2=0$
　　これを解くと　 $\small x=3$
　 $\small (\normalsizeⅱ\small )$ 　 $\small k=1$ のとき、① は　 $\small x^2-2x+1=0$
　　因数分解すると、 $\small (x-1)^2=0$
　　これを解くと　 $\small x=1$
　 $\small (\normalsizeⅰ\small ),(\normalsizeⅱ\small )$ より、 $\begin{cases}\small k=-3 \,\normalsize のとき、重解は \, \small3\\ \small k=1 \, \normalsize のとき、重解は \, \small -1\end{cases}$

放物線とｘ軸の共有点

さて、まずは「交点」「接点」「共有点」という用語の違いを確認して…して…シテ…シte…site…していきたくないです。というのも、数学の闇みたいな話で、「交点」という用語が明確に定義されていない（決まっていない）んです。たぶん・・・(-_-;)

「交わる」という言葉の定義が曖昧なのが原因で、交点という言葉を使うと余計な議論を生むので、共有点という言葉を使おうというのが世論です。共有点とは、２つ以上のグラフが共有する点のことです。

これ以上、深追いするのはやめましょう。

では、放物線と $\small \, x\,$ 軸との共有点の問題を見ていきます。

例題４

放物線 $\small \, y=x^2-2x-8 \,$ と $\small \,x\,$ 軸の共有点の座標を求めよ。

解説

$\small x\,$ 軸上の点は、 $\small y\,$ 座標は０なので、次のような解答となります。

例題５

放物線 $\small \, y=x^2-4x-k-1 \,$ が $\small \,x\,$ 軸と異なる $\small 2$ 点で交わるときの $\small k$ の値の範囲を求めよ。

解説

条件より、 $\small y\,$ 座標が $\small \,0\,$ となる点が２つあるので、 $\small y=x^2-4x-k-1=0$ が異なる２つの実数解をもつ。よって、判別式を $\small D$ とすると、
　 $\small D/4=(-2)^2-1\cdot(-k-1)>0$
これを解くと　 $\small k>-5$

２次不等式

さて、これまでの問題でも使用してきた１次不等式は、みなさん大丈夫ですね。

分かりやすい【１次不等式】不等式の特性を徹底解剖！

不等式の特性を理解して、基本的な問題から応用問題まで解けるようにしていきましょう。１次不等式は高校数学のいたるところで利用します。丁寧で分かりやすい解説をしていくので、定期試験でしっかりと得点できるようにしていきましょう。

２次不等式の解法の仕組み

$\small x$ が１乗までしか無かったのが１次不等式です。２次不等式は、 $\small x^2$ が含まれる不等式のことをいいます。２次不等式の解法は、１次不等式とは全く異なります。誘導に乗りつつ、２次不等式の解き方を理解していきましょう。

例題６

次の問いに答えよ。
$\small (1)$ 　放物線 $\small y=x^2-4x+3$ と $\small \,x\,$ 軸の共有点の $\small \,x\,$ 座標を求めよ。
$\small (2)$ 　 $\small y \,$ 座標が負となる $\small \,x\,$ の範囲を求めよ。
$\small (3)$ 　２次不等式 $\small \, x^2-4x+3<0\,$ を解け。

解説

解法の流れはつかめたでしょうか？実際の解答の書き方などを確認するためにも、あと数問解いてみましょう。

例題７

次の２次不等式を解け。
$\small (1)$ 　 $\small x^2-5x+6≧0$
$\small (2)$ 　 $\small 2x^2-x-3<0$
$\small (3)$ 　 $\small 4-x^2<0$
$\small (4)$ 　 $\small x^2-3x-1≦0$

解説

続いては、放物線が $\small \, x\,$ 軸と異なる２点で交わらないケースの問題です。

例題８

次の２次不等式を解け。
$\small (1)$ 　 $\small x^2-6x+9≧0$
$\small (2)$ 　 $\small x^2-6x+9>0$
$\small (3)$ 　 $\small x^2-6x+9≦0$
$\small (4)$ 　 $\small x^2-6x+9<0$